浅谈数学*题设计与思维能力培养

发布时间:2021-08-05 04:46:25

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈数学*题设计与思维能力培养 作者:许雪红 来源:《新课程·教师》2012 年第 03 期 *题教学是高中数学教学中不可或缺的组成部分。通过*题教学,将有助于加深学生对数 学知识结构的巩固与深化,提高分析问题、解决问题的能力,增强思维的创造性、灵活性和变 通性。 解题教学是数学教学的重要组成部分,是完成数学教学目的的重要手段。这就要求:在高 中教学过程中,*题设计成为高中数学教师的经常性工作之一。高中数学*题设计技巧的高低 不仅直接影响着学生的学*热情和学*积极性,还关系到学生创造性思维能力的训练和培养。 因此,在教学过程中,设计一些能训练学生的创造性思维品质、促使学生多思多疑的*题,是 高中数学教学中进行创造性教学的一个有效途径。 下面就结合本人在*时的教学过程中,如何通过*题设计有效地培养学生创造性思维的一 些具体做法。 一、设计“多变型”的*题,培养学生创造性思维的变通性 设计“多变型”的*题是指教师在*题教学中不要只局限于就题论题,要在原题的基础上不 断变换问题情境,使之变为更具有价值、有新意的新问题,使更多知识得到应用,从而获得 “一题多练”“一题多得”的效果,使学生创造性思维的变通性得到培养和发展。 例 1.等差数列{an}中,前 n 项的和记为 Sn,若 Sm=Sn(m≠n),求 Sm+n 的值。 针对例题 1,不难发现,如果我们发现 Sm,Sn,Sm+n 之间的等量关系,就可以得出以下 几种形式: [变式 1]设 Sk 为等差数列的前 k 项之和,则(n-m)Sm+n=(m+n)(Sn-Sm)。 该问题依赖于三个特殊的项:第 m 项,第 n 项,第 m+n 项,那么对任意的 m,n,k 项, 问题有什么结论呢?我们可以设计变式 2。 [变式 2]等差数列的任意三项,分别为 am,an,ak,则(n-k)am+(k-m)an+(m-n) ak=0。 证明:由等差数列有(an-ak)/(n-k)=(an-am)/(n-m)=d(公差) 即(n-k)(an-am)=(n-m)(an-ak) 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 得(n-k)am+(k-m)an+(m-n)ak=0 这个结果还可以表示为定比分点的形式:ak={(n-k)am+(m-n)ak}/{(n-k)+(mn)},或者说,这是直线上三点(m,am),(n,an),(k,ak)共线的代数表述。 [变式 3]等差数列的前 m,n,k 项的和依次为 Sm,Sn,Sk,则(n-k)Sm/m+(k-m) Sn/n+(m-n)Sk/k=0 分析:在实际的解题过程中,学生总是根据问题的具体情境来决定解题方法,这种方法是 受情境制约的,如果不对它进行概括和提炼,那么它的适用范围就非常有限。解题过程中,进 行“举一反三”,对具体问题、具体方法进行二次加工,久而久之,就能逐渐开阔视野,从而提 高解题能力。 二、设计“隐含性条件”的*题,培养学生创造性思维的深刻性 设计“隐含性条件”的*题是教师在编拟*题时,有意识地使题设条件隐而不露,学生只有 通过认真审题、深入挖掘和仔细推敲,才能发现隐藏条件,作出正确的解答。而学生在这一分 析、破译隐含信息的过程中,由于经过了深入思考,因此创造性思维的深刻性得到了培养和训 练。 例 2.求函数 y=■的值域。 分析:本题常用判别式法,将原函数变形得:(y-1)x2+(y-4)x-3(2y+1)=0 ① 当 y=1 时,①式化为-3x=9,有解 x=3; 当 y≠1 时,∵①式中 x∈R ∴Δ=(y-1)2+4×3(y-1)(2y+1)≥0, 即:25y2-20y+4≥0,解这个不等式得 y∈R。故有些同学就认为原函数值域 y∈R。导致结 果错误。错误的原因是忽视了隐含条件“x2+x-6≠0”,即要使原函数有意义,必须有:x≠2 且 x≠-3。在此前提下,原函数可化为:y=■=■(y-1)x=2y+1 ∴y≠1 且 x=■≠-3,解得 y≠1 且 y≠■ ∴原函数值域为:y∈(-∞,■)∪(■,1)∪(1,+∞) 例 3.设 α、β 是方程 x2-2kx+k+6=0 的两个实根,则(α-1)2+(β-1)2 的最小值是多 少? 分析:本例题根据一元二次方程根与系数的关系易得: 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn α+β=2k,αβ=k+6 (α-1)2+(β+1)2=α2-2α+1+β2-2β+1 =(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2 =4(k-■)2-■。 故有些同学就把答案写成了-■,这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度好 好审视这个题目,就会发现: 原方程有两个实根 α、β,∴ Δ=4k2-4(k+6)≥0?圯 k≤-2 或 k≥3 当 k≥3 时,(α-1)2+(β-1)2 的最小值是 8;当 k≤-2 时,(α-1)2+(β-1)2 的最小值是 18。所以该题的正确答案就只能是 8。 此类*题就要求学生要抓住事物的本质,不能停留在问题的表层,学生通过挖掘题中的隐 含条件,不仅有利于良好审题*惯的养成,而且有利于创造性思维深刻性的培养。 三、设计“多余性条件”的*题,培养创造性思维的批判性 “多余性条件”的*题就是指*题中的条件过剩,有用和无用的条件混在一起,形成干扰和 迷惑,学生在解题时容易出现错误。此类*题的练*,可以防止学生滥用*题所给的条件、信 息,乱套公式、公理,让学生逐步学会通过观察现象,抓住本质的方法,从而达到培养创造性 思维的批判性品质。 例 4.如果你有两张报纸,将其中的一张厚度为 0.05 毫米的报纸对拆,再对拆……对拆 50 次后,报纸的厚度是多少?你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗? (已知地球与月球的距离约为 4×108 米) 分析:该题中含有两个信息:“如果你有两张报纸”是“多余条件”。“将其中的一张厚度为 0.05 毫米的报纸对拆,

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